7.RELAÇÃO ÁUREA

NÚMERO DE OURO (“fi” (Ф), também chamado de razão áurea, proporção áurea, seção áurea, segmento áureo. 

A relação matemática segundo a qual a divisão do segmento inteiro (a+b) pela parte maior (a) é igual divisão da medida da maior parte (a) pela menor parte (b) de um segmento (dividido em duas partes).  Em outras palavras: os segmentos [ b, a, a+b ] estão em progressão geométrica, nesta ordem.

A proporção áurea ou número de ouro ou número áureo é uma constante real algébrica irracional Ф com o valor arredondado a três casas decimais é igual a 1,618.

Vamos determinar o número Ф

Da igualdade a/b = Ф, temos que a=bФ

Substituindo o valor de a na igualdade: 

Temos:

Como b≠0; cancelando o b em ambos os membros, temos:

Multiplicando ambos os membros por Ф, temos:

Subtraindo ambos os membros por Ф², temos:

Ф + 1 − Ф² = Ф² − Ф²   →  Ф + 1 − Ф² = 0  

Multiplicar por −1 ambos os membros, temos:

Ф² − Ф − 1    = 0   (é uma equação do segundo grau)

Aplicando a fórmula de Bháskara, temos:

a=1, b=−1, c=−1

Como Ф deve ser positivo, temos:

É um número irracional.

(valor aproximado de Ф)

1. Quando se quer obter o segmento áureo (a) de outro segmento dado AB basta multiplicar (AB) por 1/Ф.

2. Quando se quer obter o segmento AB, onde (a) é o segmento áureo, é só multiplicar AB por Ф (Ф = número de ouro).

Como determinar o segmento áureo de um segmento AB, utilizando uma régua e compasso.

Considerando a figura feita:

Passo a passo:

1)   Dado o segmento AB, construir o triângulo ABD retângulo (em B), onde o cateto BD (=a/2) é a metade do cateto AB (=a).

2)   Compasso com abertura BD e centro em D, traçar o arco BF.

3)   Agora, compasso com abertura AF, traçar o arco FC.

4)  O segmento AC=segmento áureo de segmento AB.

Como construir um retângulo áureo partindo de um segmento “a” ( = lado menor).

Passo a passo: 

1)     Construir o quadrado ABFE de lado=a:

2)     Determinar o ponto médio (G) do segmento AE:

3)  Prolongar o segmento AE e com compasso com a abertura GF, ponto em G, traçar o arco FD.

4)  Prolongar o segmento BF e traçar o segmento DC perpendicular ao segmento AD.

Vamos verificar que o retângulo obtido é áureo. Um retângulo é áureo se o lado maior / lado menor = Ф

Lado maior/Lado menor =( a/2+r) / a = (a/2 + a√5/2) / a = a(1/2 + √5/2)/a = (1 + √5)/2 = Ф = (número de ouro).

Logo, fica demonstrado que o retângulo e áureo.

Como construir um retângulo áureo partindo de um segmento “a” ( = lado maior). 

Vamos considerar o retângulo pronto:

Passo a passo:

1)     Determinar o segmento áureo do segmento AB (=a).

2)     Levantar a perpendicular ao segmento AB.

3)     Compasso com abertura AA’ (=segmento áureo de AB), centro em A, traçar o arco até encontrar com a perpendicular no ponto C.  O segmento AC é áureo do segmento AB.

4)     Terminar a construção do retângulo (áureo)  ABDC.