8.Média Harmônica e Média Global

Média Harmônica

A média harmônica de n números reais positivos x₁, x₂,... , x_n é o número real positivo Mh, definido por:

Em outras palavras: A Média Harmônica Mh é o inverso da média aritmética dos inversos dos n números x₁, x₂, ...,x_n.

Podemos interpretar o valor numérico da Média Harmônica Mh como o valor que representa a capacidade média individual da ação de n agentes (indíviduos ou entes) que estão agindo harmonicamente, ou seja, Mh representa a capacidade de um agente que é capaz de substituir cada um dos n agentes quando atuando em conjunto.

Média Harmônico Global

O Harmônico Global dos números reais positivos x₁, x₂, ..., x_n é o número real positivo h, definido por:

Isto é, a Média Harmônico Global Mg é um número que representa o inverso da soma dos inversos dos n números x₁, x₂, ...,x_n.

Na prática, este número Mg representa a capacidade média global da ação dos n agentes (entes ou indíviduos) agindo em conjunto de uma forma harmônica, isto é, Mg representa a capacidade de um único agente substituir todos os agentes ao mesmo tempo.

Média Harmônico Global - Algumas aplicações práticas

Exemplos práticos que utilizam o conceito de Harmônico global, assim como as fórmulas que devem ser usadas para obter as soluções, além das soluções.

A)   Torneiras amigas:

Uma torneira enche uma caixa d'água em 4 horas e outra torneira enche a mesma caixa em 6 horas. Abrindo-se as duas torneiras ao mesmo tempo, qual será o tempo t necessário para encher a caixa?

N = 2

Solução:

X₁ = 4h

X₂ = 6h

MG = (4.6)/(4+6) = 2,4h = 2h 24min

A)   Torneiras inimigas:

Uma torneira enche uma caixa d'água em 4 horas e outra torneira a esvazia em 6 horas. Abrindo-se as duas torneiras simultaneamente, qual será o tempo t necessário para encher a caixa d'água?

N = 2

Solução:

X₁ = 4h

X₂ = −6h

MG = (4.(−6))/(4+(−6)) = − 24/−2 = 12h

A)   Capacidade pessoal:

Uma pessoa é capaz de construir um muro em 6 horas e outra pessoa tem a capacidade de trabalho para construir este mesmo muro em 9 horas. Pondo-se as duas pessoas trabalhando em conjunto, em quanto tempo t, o muro estará pronto?

N = 2

Solução:

X₁ = 6h

X₂ = 9h

MG = (6*9)/(6+9) = 3,6h = 3h 36min

Média Harmônica - Aplicação prática

Velocidade média:

Um veículo realizou o trajeto de ida e volta entre as cidades A e B. Na ida ele desenvolveu uma velocidade média de 80 km/h, na volta a velocidade média desenvolvida foi de 120 km/h. Qual a velocidade média para realizar todo o percurso de ida e volta?

Considerando que a distância percorrida na ida e volta sejam iguais.

É fácil calcular a média das velocidades (médias) de ida e volta que seria de 100 Km/h.

Mas, o que se pede no problema é a velocidade média para todo o percurso (ida + volta) e não a média das velocidades.

A velocidade média é a média harmônica entre as duas velocidades médias (ida=80 Km/h e volta=120 Km/h). 

N=2

X₁ = V1 = 80 Km/h

X₂ = V2 = 120 Km/h

Velocidade média = Mh =  (2*80*120)/(80+120) = 96 Km/h

Portanto, a resposta do problema é a média harmônica de 96 km/h

Alguém pode perguntar:

Mas por que 96 km/h? Em que se baseia este resultado?

Vamos fazer o seguinte, já que independentemente da distância entre as cidades as velocidades médias foram de 80 km/h na ida e de 120 km/h na volta, para facilitar a explicação vamos adotar que a distância entre as cidades A e B seja de 120 km.

Baseado nestas informações; podemos concluir que o tempo gasto na ida seria de uma hora e meia, que é a distância entre as cidades dividida pela velocidade média da ida: (120 Km/80 Km/h = 1,5 h)

Analogamente, na volta o tempo gasto seria de uma hora:

(120 Km/120 Km/h = 1 h)

Então para realizar o percurso total de 240 km/h se gastaria 2,5 h, donde concluímos que a velocidade média foi de 96 km/h:

(240 Km/2,5 = 96 Km/h)

Assim fica demonstrado que a média harmônica de 96 Km/h é a resposta do problema.