Matemática8-ThiagoKYamamoto: 4. CÁLCULO ALGÉBRICO

René Descartes (1596 – 1650) Filósofo e Matemático. Acreditava que o cálculo com expressões algébricas era um método poderoso e universal para resolver problemas.

Cálculo algébrico é aquele que envolvem as expressões algébricas.

Expressões algébricas: são aquelas que contêm números e letras (=variáveis).

Ex.: 2ax² + bx +3

Valor numérico de uma expressão algébrica: é o número que obtemos substituindo as variáveis por números e efetuamos suas operações.

Variáveis: são letras das expressões algébricas que representam um número real e que de princípio não possuem um valor definido.

1) EXPRESSÕES ALGÉBRICAS INTEIRAS

São aquelas que não têm incógnitas no denominador ou dentro de radicais.

(considerando apenas o “x” como incógnita e sendo “a” e “b” valores conhecidos).

Ex.:

2) MONÔMIOS

São expressões algébricas que os números e letras estão ligados por produtos.

Ex.: 4x, 2x², 2ab³

Grau de um monômio: é dado pela soma dos expoentes da parte literal. Ex.: + 5x²y³ é de grau 5. Ou, também, pode ser dado em relação a uma das letras (=variáveis). Ex.: - 5x²y³ é de grau 2 a x e é de grau 3 a y.

3) MONÔMIOS SEMELHANTES OU TERMOS SEMELHANTES

São chamados de monômios semelhantes ou termos semelhantes, quando apresentam a mesma parte literal. Ex.: x³, 8x³, 11x³, 55x³ (a parte x³ é parte igual para todos os monômios).

4) OPERAÇÕES COM MONÔMIOS

Adição e Subtração de Monômios semelhantes

Adição: I) 2x + 3x = (2 + 3).x = 5.x = 5x

II) 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z

Subtração: I) 2x – 3x = (2 – 3).x = -1.x = -x

II) 2 x³ y² z - 3x³ y² z = -x³ y² z

Atentar no jogo de sinais:

( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) = x³ +2 y² + 1 – y² + 2 = x³ + y² +3

Multiplicação de monômios

I) (9x²).(5x³) = (9.5)(x².x³) = 45x²⁺³ = 45x⁵

II) (3x).(-4y) = (3.(-4)).(x.y) = -12.(x.y) = -12xy

Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.

Divisão de monômios

I) (12x⁶) : (3x²) = 12x⁶/3x² = 12/3.x⁶/x² = 4.x^6-2 = 4x⁴

II) 21x³y / 7xy = 21/7.x³/x.y/y = 3.x³^-1.y^1-1 = 3.x².1 = 3x²

Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair os expoentes.

Potenciação de monômios

I) (5x³)² = 5².(x³)² = 25.x^3.2 = 25x⁶

II) (-2xy²)³ = (-2)³.x³.(y²)³ = -8.x³.y^2.3 = -8.x³.y⁶

5) POLINÔMIOS

Toda expressão que indica uma soma algébrica (adição ou subtração) de monômios não semelhantes é chamada de polinômio.

Ex.:

I) 5a² - 3a + 1

II) 4x² - 2xy + 3x

III) 2x + 6

Redução de termos semelhantes

O perímetro de um canteiro de jardim, representado pela região poligonal acima:

Perímetro: 2x + y + 2x + 2y + 4x + 3y =

EQUAÇÃO DE DIOFANTO

Diofanto de Alexandria é considerado como o maior algebrista grego, séc III a.C.. (Pai da Álgebra)

Equação de Diofanto
Um sexto dela foi uma bela infância. Depois de 1/12 da sua vida, a sua barba cresceu. Um sétimo da sua vida passou-se num casamento sem filhos. Mas, cinco anos após isso, nasceu o seu primeiro filho, que viveu uma vida feliz durante apenas metade do tempo de vida do seu pai. E, em profundo pesar, o pobre velho terminou os seus dias na Terra, quatro anos após perder o filho.

Grau de um polinômio

O grau de um polinômio é numericamente igual à soma dos expoentes da parte literal do seu termo de maior grau depois de reduzidos seus termos semelhantes.

Exemplos:

a) 4x³ − 3x² + 5 é um polinômio de 3º grau, pois, 4x³ é seu termo de maior grau;

b) 2x + xy – 6y é um polinômio de 2º grau, pois, xy é seu termo de maior grau.

Operações com polinômios

Adição (=soma) e Subtração (=diferença)

Dados os polinômios P= 3x² + 2x e Q= 2x² + x, vamos indicar a soma e diferença, respectivamente: P + Q e P – Q.

Soma: P+Q = (3x² + 2x) + (2x² + x) = 3x² + 2x + 2x² + x = 5x² + 3x

Diferença: P-Q = (3x² + 2x) - (2x² + x) = 3x² + 2x -1•( 2x² + x) = 3x² + 2x − 2x² − x = x² + x

Polinômios opostos ou simétricos

Exemplo: os polinômios P = 3x² − 5x + 10 e Q = − 3x² + 5x – 10 são simétricos, pois a sua soma resulta em um polinômio nulo.

P = 3x² − 5x + 10 = (3x² − 5x + 10)

Q = − 3x² + 5x – 10 = − (3x² − 5x + 10)

P + Q = (3x² − 5x + 10) − (3x² − 5x + 10) = 0

Multiplicação

Monômio por polinômio

Utilização da propriedade da multiplicação de potências de mesma base:

3x •x = 3x²

Utilização da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Exemplo:

-2x •(x² − 3x + 2) = − 2x³ + 6x² − 4x

Binômio por binômio

Dois polinômios quaisquer

Divisão

Polinômio por monômio

Lembrete: Todos os divisores devem ser diferentes de zero, pois não existe divisão por zero.

(6x³ − 12x) : (3x) →

A condição (3x ≠ 0) é obrigatória.

Polinômio por polinômio

Lembrete: o grau que aparece no resto deve ser sempre menor do que o grau do polinômio que é divisor.

Para exemplificar, vamos utilizar o processo da chave para a seguinte divisão:

(15x² + 2x − 8) ∕ (5x + 4)

1º Passo) Dividimos o 1º termo do dividendo pelo 1º termo do divisor:

2º Passo) Multiplicamos 3x • (5x + 4) = 15x² + 12x e subtraímos o valor obtido de 15x² + 12x. Para tanto, mudamos os sinais de 15x² + 12x e somamos a 15x² + 12x:

3º Passo) Repetimos o processo dividindo o 1º termo de − 10x − 8 pelo 1º termo de 5x + 4, ou seja, (−10x) ∕ (5x) = − 2:

4º Passo) Então, (15x² + 2x − 8) ∕ (5x + 4) = 3x − 2.

Prova:

PRODUTOS NOTÁVEIS

Algumas multiplicações que envolvem polinômios apresentam uma regularidade (um padrão) em seus resultados (produtos). Por isso, são conhecidas como produtos notáveis.

QUADRADO DA SOMA: (a + b)² ou (a +b)•(a + b)

(a+b)² = (a+b)•(a+b) = a•a + a•b + b•a + b•b = a² + 2ab + b²

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo mais o dobro do produto do 1º termo pelo 2º termo mais o quadrado do 2º termo.

Exemplo:

(3x +5)² = (3x)² + 2•(3x•5) + 5² = 9x² + 30x + 25

QUADRADO DA DIFERENÇA: (a − b)² ou (a − b)•(a − b)

(a−b)² = (a−b)•(a−b) = a•a − a•b − b•a + b•b = a² − 2ab + b²

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do 1º termo menos o dobro do produto do 1º termo pelo 2º termo mais o quadrado do 2º termo.

Exemplo:

(7x − 3)² = (7x)² − 2•(7x•3) + 3² = 49x² + 42x + 9

PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA: (a + b)•(a − b)

(a + b)•(a − b) = a•a − a•b + b•a − b•b = a² − b²

O produto da soma pela diferença dos mesmos termos é igual ao quadrado do 1º termo menos o quadrado do 2º termo.

CUBO DA SOMA: (a + b)³

(a + b)³ = (a + b)•(a + b)² = (a + b)•(a² + 2ab + b²) =

= a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do 1º termo mais o triplo do produto do quadrado do 1ºtermo pelo 2º termo mais o triplo do produto do 1º termo pelo quadrado do 2º termo mais o cubo do 2º termo.

Exemplo:

(x + 4)³ = x³ + 3•x²•4 + 3•x•4² + 4³ = x³ + 12x² + 48x + 64

CUBO DA DIFERENÇA: (a − b)³

(a − b)³ = (a − b)•(a − b)² = (a − b)•(a² − 2ab + b²) =

= a³ − 2a²b + ab² − ba² + 2ab² − b³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do 1º termo menos o triplo do produto do quadrado do 1º termo pelo 2º termo mais o triplo do produto do 1º termo pelo quadrado do 2º termo mais o cubo do 2º termo.

Exemplo:

(x − 4)³ = x³ − 3•x²•4 + 3•x•4² − 4³ = x³ − 12x² + 48x − 64

FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS

Fatorar um polinômio é expressa-lo por meio de uma multiplicação.

1º CASO DE FATORAÇÃO: fator comum (colocação de um termo em evidência)

3a² + 3ab = 3a•a + 3a•b = 3a•(a + b), logo: 3a² + 3ab = 3a•(a + b), sendo 3a•(a+b) é a forma fatorada. Colocamos neste caso 3a em evidência.

Exemplo:

(10x² − 15x) = 5x•2x − 5x•3 = 5x•(2x−3)

Observe: o fator comum em evidência é sempre o máximo divisor comum entre os termos.

2º CASO DE FATORAÇÃO: agrupamento

ax + 2a + 5x + 10 = a(x+2) + 5(x+2) = (x+2)•(a+5)

A fatoração de dois grupos, separadamente, deve “gerar” um fator comum para uma nova fatoração.

Exemplo:

ab + a − bx − x = a(b+1)-x(b+1) = (b+1)•(a−x)

3º CASO DE FATORAÇÃO: trinômio quadrado perfeito

a) x² +10x + 25 = (x+5)² à (quadrado da soma)

b) a² − 14a + 49 = (a-7)² à (quadrado da diferença)

4º CASO DE FATORAÇÃO: diferença entre dois quadrados

a) (quadrado da soma) à x² − 64 = (x − 8)•(x + 8)

b) 25x² − 81 = (5x + 9)•(5x − 9)

5º CASO DE FATORAÇÃO: soma de dois cubos

a) (soma de dois cubos) à x³ + y³ = (x + y)•(x² − xy + y²)

b) 125x³ + 8 = (5x)³ + 2³ = (5x + 2)•(25x² − 10x + 4)

6º CASO DE FATORAÇÃO: diferença entre dois cubos

a) (diferença entre dois cubos) à x³ − y³ = (x−y)•(x² + xy + y²)

b) 27x³ − 125 = (3x)³ − 5³ = (3x − 5)•(9x² + 15x + 25)

RESUMO DOS CASOS DE FATORAÇÃO:

OUTRAS FORMAS DE FATORAÇÃO:

Há expressões que podem ser fatoradas mais de uma vez. Vejamos algun exemplos:

b) 4x³ + 4x² + x = x(4x² + 4x + 1) = x(2x+1)(2x+1) = x(2x+1)²

c) x² − y² + 3x + 3y = (x+y).(x-y) + 3(x+y) = (x+y).(x-y+3)

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM DE POLINÔMIOS:

MMC entre 45x³y e 18xyz:

MMC entre 4x² − 2x e 12x² − 12x + 3:

6. FRAÇÕES ALGÉBRICAS

Definição: Fração Algébrica é toda fração cujo denominador é uma expressão algébrica.

Exemplos:

Já sabemos que o denominador de uma fração não pode ser ZERO.

Logo, tem-se que:

Simplificação de Frações Algébricas:

Na simplificação de frações dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número (diferente de zero). É mesma coisa que cancelar os fatores comuns e obter uma fração mais simples.

Exemplos:

a) x e y devem ser diferentes de zero.