4.EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Ex-01 (OBM-2004)

O arranjo a seguir, composto de 32 hexágonos, foi montado com varetas, todas com comprimento igual ao lado do hexágono.  Quantas varetas, no mínimo, são necessárias para montar o arranjo?

Solução:

Pelo arranjo podemos notar que são conjunto de 3 hexágonos que se vão juntando lado a lado (da esquerda para direita e da direita para esquerda).  Então podemos fazer o seguinte cálculo: 32/3 = 10 e resto 2 (exatamente o que são necessários na junção: 31º e 32º  hexágonos).

Em outras palavras: temos 5 hexágonos da esquerda para a direita e 5 hexágonos da direita para esquerda, mais 2 na junção.  Como estamos utilizando varetas, temos que:

a)     Para o conjunto das extremidades, devemos que usar 16 varetas cada um;

b)     Para os próximos conjuntos, devemos usar 11 varetas (4 conjuntos para cada bloco);

c)      Quando o bloco da direita se junta com o da esquerda, são necessários 4 varetas (na figura abaixo, em verde);

d)     Ainda devemos diminuir uma vareta na junção (onde se tocam) do bloco da direita e esquerda.

Fazendo o desenho para melhorar o raciocínio:

 Contando as varetas:

i)                    Nas extremidades:  2 x 16 = 32;

ii)                  Da esquerda para direita: 4 x 11 = 44;

iii)                Da direita para esquerda: 4 x 11 = 44;

iv)                31º e 32º hexágonos:  2 x 2 = 4 (varetas em verde);

v)                  Diminuir 1 vareta na junção de blocos da direita com a esquerda.

Logo, temos que: 32 + 44 + 44 + 4 – 1 = 123 varetas.

Portanto, são necessários, no mínimo, 123 varetas.

OUTRA MANEIRA DE RESOLVER:

Começando com 3 hexágonos para obter a configuração abaixo, verificamos serem necessárias 18 – 2 = 16 varetas, pois uma vareta pertence a dois hexágonos em duas situações. Para formar uma nova "camada”, são necessárias 11 varetas (linhas cheias no desenho). Com 10 "camadas" temos 30 hexágonos.

Na última delas, devemos anexar 2 hexágonos, sendo necessárias mais 8 varetas, conforme desenho abaixo.

Assim, o número total de varetas é: 16 + 9 × 11 + 8 = 123.

Ex-02

Qual é o valor a seguir que corresponde ao algarismo das unidades do produto (1*3*5*... *97*99)?

a) 1       b) 3       c) 5    d)7    e) 9

 

Solução:

Observe que todos os números do produto são ímpares e, além disso, o produto de qualquer número ímpar por 5 termina sempre com o algarismo 5.  Logo a opção correta é a alternativa “c”, portanto, o valor do algarismo das unidades é 5.

Ex-03

Sabendo-se que 9 174 532*13 = 119 268 916, qual é o número, a seguir, é divisível por 13?
 

 a) 119 268 903    b) 119 268 907   c) 119 268 911   d) 119 268 913  

 e) 119 268 923

 Solução:

 Como 119 268 916 e divisível por 13, já que 9 174 532×13 = 119 268 916.

Podemos concluir que os números da forma 119 268 916 + x, para x inteiro, são divisíveis por 13 se, e somente se, x é divisível por 13.   Dentre os números apresentados o número 119 268 916 + (–13) = 119 268 903 e o único divisível  por 13.

Portanto, a alternativa correta é “a”.

Ex-04 (OBM-2004)

(a)   É possível dividir o conjunto {1², 2²,…,7²} em dois grupos A e B de modo que a soma dos elementos de A seja igual à soma dos elementos de B? Justifique.

(b)   É possível dividir o conjunto {1², 2², 3²,…,9²} em dois grupos C e D de modo que a soma dos elementos de C seja igual à soma dos elementos de D? Justifique.

SOLUÇÃO:

a) A soma total dos elementos é:

1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140.

Logo, cada um dos grupos deve conter elementos que somem 70. Examinando as parcelas, vemos que 49 + 1 + 4 +16 = 70. Assim podemos escrever, por exemplo, A = {1², 2², 4², 7²} e B = {3², 5², 6²}.

b) Como  (1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² + 8² + 9² = 140 + 64 + 81 = 285 )  é ímpar, é, portanto, impossível dividir em dois grupos de mesma soma.

 

Ex-05 (OBM-2004)

O perímetro de um retângulo é 100 e a diagonal mede x. Qual é a área do retângulo?

A) 625 – x²                                 B) 625 – x²/2                        C) 1250 – x²/2

D) 250 –  x²/2                 E) 2500 – x²/2

      SOLUÇÃO:

Perímetro = 100 = 2a + 2b = 2(a+b)  ↔  a + b = 50.

Área = a.b = ?

O valor  x² = a² + b² (Teorema de Pitágoras)

Se a+b = 50, então se elevarmos por 2, ambos os membros, a igualdade se mantém e temos: (a+b)² = 50² ↔ a²+2ab+b² = 2500 ↔ a²+ b² + 2ab = 2500 ↔
x²+2*Área = 2500 ↔ 2*Area = 2500 - x²,

Portanto,  Área = (2500 - x²)/2 = 1250 - x²/2 ↔ Área = 1250 - x²/2

  

Ex-06 (OBM-2004)

Ao somar cinco números consecutivos em sua calculadora, Esmeralda encontrou um número de 4 algarismos: 2 0 0 *. O último algarismo não está nítido, pois o visor da calculadora está arranhado, mas ela sabe que ele não é zero. Este algarismo só pode ser:

A) 5                 B) 4                  C) 3                   D) 2                   E) 9

SOLUÇÃO:

Cinco números consecutivos podem ser representados por a – 2, a – 1, a, a + 1 e a + 2 e sua soma é (a – 2) + (a – 1) + a + (a + 1) + (a + 2) = 5a ou seja, um múltiplo de 5, que só pode terminar em x = 5, pois x ≠ 0.

Ex-07 (OBM-2004)

Sobre uma mesa estão três caixas e três objetos, cada um em uma caixa diferente: uma moeda, um grampo e uma borracha. Sabe-se que

·         A caixa verde está à esquerda da caixa azul;

·         A moeda está à esquerda da borracha;

·         A caixa vermelha está à direita do grampo;

·         A borracha está à direita da caixa vermelha.

Em que caixa está a moeda?

       A) Na caixa vermelha

      B) Na caixa verde

      C) Na caixa azul

      D) As informações fornecidas são insuficientes para se dar uma resposta.

      E) As informações fornecidas são contraditórias.

      SOLUÇÃO:

Como o objetivo é descobrir em qual caixa está a moeda, bastam as 2 últimas informações dadas:

Todos os objetos estão nas respectivas caixas: então a moeda está na caixa vermelha.

  

Ex-08 (OBM-2004)

Os alunos de uma escola participaram de uma excursão, para a qual dois ônibus foram contratados. Quando os ônibus chegaram, 57 alunos entraram no primeiro ônibus e apenas 31 no segundo. Quantos alunos devem passar do primeiro para o segundo ônibus para que a mesma quantidade de alunos seja transportada nos dois ônibus? 

A) 8                B) 13              C) 16              D) 26              E) 31

      SOLUÇÃO:

 

Total de alunos: 57 + 31 = 88 alunos;

Portanto, a quantidade de alunos, em cada, ônibus deve ser: 88/2 = 44

Logo, devem passar do primeiro para o segundo ônibus 57– 44 = 13 alunos.

  

Ex-09

Dezoito quadrados iguais são construídos e sombreados como mostra a figura. Qual fração da área total é sombreada?



SOLUÇÃO:

Há 10 metades de quadrados e 3 quadrados inteiros, ou seja 8 quadrados sombreados:  Logo, 8/18 = 4/9

Ex-10 (Aula: 28-Nov-2013)

João e Maria são irmãos.  João tem 5 irmãos a mais que irmãs.  Quantos irmãos a mais que irmãs a Maria tem?

  SOLUÇÃO:



 



Vamos adotar que x seja o número de irmãs (incluindo Maria) que o João tem, logo, ele tem x+5 irmãos, de acordo com as informações do enunciado.

Agora o João e Maria são irmãos então, sob o ponto de vista da Maria, temos que o número de irmãs é x-1, porque ela deve se excluir e o número de irmãos é (x+5)+1 porque deve incluir o João.

Assim, a Maria possui [(x+5)+1 – (x-1)] = 7 irmãos a mais que irmãs.

Ex-11 

Dois nadadores, posicionados em lados opostos de uma piscina retangular e em raias adjacentes, começam a nadar em um mesmo instante, com velocidades constantes.
Sabe-se que, nas duas primeiras vezes em que ambos estiveram lado a lado, eles nadavam em sentidos opostos: na primeira vez, a 15 m de uma borda e, na segunda vez, a 12 m da outra borda.
Considerando-se essas informações, qual é o comprimento dessa piscina?

Uma solução:

Vamos denominar os nadadores de A e B, sendo que A com velocidade Va constante e B com velocidade Vb constante.  E consideremos que Va > Vb.

Sabemos que: d = v • t, onde d=distância percorrida, v=velocidade e t=tempo decorrido.

No primeiro encontro:

A nadou (x-15) e B nadou 15 e ambos gastaram t₁.   

Logo temos que:

(A):     x-15 = Va•t₁

(B):     15 = Vb•t₁

Assim temos:  (x-15)/Va = 15/Vb  →     Va/Vb = (x-15)/15   (EQ-1)

No segundo encontro:

A nadou [ x+(x-12) ] e B nadou [ x+12 ] e ambos gastaram t₂ .

Logo temos que:

(A):  x+x-12 = Va• t₂

(B):  x+12 = Vb•t₂

Assim temos:  (2x−12)/Va = (x+12)/Vb  →  Va/Vb = (2x-12)/(x+12)   (EQ-2)

De equações EQ-1 e EQ-2:

Va/Vb = (x-15)/15 = (2x-12)/(x+12)  →  30x−12•15 = x²−15x+12x−12•15  →

30x−12•15−x²+15x−12x+12•15=0   →  33x−x²=0   →  x•(33-x)=0

  

O produto x•(33-x) é igual a zero, se somente se, x=0, ou x=33.

O “x” não pode ser zero, porque “x” é o comprimento da piscina e se for zero, este não existiria.  Logo, a resposta é x=33 metros.

Ex-12

A adição (9 + 99 + 999 + 9999 + ...) deverá ter quantas parcelas, de modo que apareçam exatamente 2011 algarismos “1”. 

Solução:

9+99+999+9999+99999+ ••• =

Podemos re-escrever da seguinte forma:

(10−1)+(100−1)+(1000−1)+(10000−1)+(100000−1)+ ••• =

Vamos fazer outra manipulação:

10+100+1000+10000+100000+ ••• −1−1−1−1−1− •••

Sendo a soma: 10+100+1000+10000+100000+ ••• dá um número de formato: 11111 ••• 0, ou seja com todos os dígitos iguais a “1” e o último é zero; e mais, a quantidade de 1’s é igual a número de parcelas.

Como se deseja que a soma tenha 2011 algarismos “1”, devemos ter no mínimo 2011 parcelas.

E se tem 2011 parcelas, a soma terá 2012 dígitos, sendo o último é zero e os demais “1”. 

Mas, devemos subtrair de uma unidade (=1) de tantas quantas são as parcelas, ou seja, neste caso teríamos 2011 parcelas.

Efetuando a subtração, temos:

11111 ••• 111110 − 2011 = 11111 ••• 111109099

Temos como resultado: o último dígito é 9, o penúltimo é 9, o ante-penúltimo é 0, e ante-ante-penúltimo é 9 e depois é 0 (=zero) e então volta a ter 1’s novamente.  Logo, diminuíram 4 dígitos de “1” e total ficaria com 2011−4=2007 dígitos “1”.

Pensando da mesma maneira:

Com 2012 parcelas, temos: 2012−4 = 2008 dígitos “1”;

com 2013 parcelas, temos: 2013−4 = 2009 dígitos “1”;

com 2014 parcelas, temos: 2014−4 = 2010 dígitos “1”;

com 2015 parcelas, temos: 2015−4 = 2011 dígitos “1”.

Portanto, a resposta: 2015 parcelas.