1)
EX-01 (CGU 2002 – ESAF) – Média Harmônica
Em um passeio de moto, um dos participantes vai de Curitiba
a São Paulo a uma velocidade média de 50 Km por hora; após, retorna de São Paulo para
Curitiba a uma velocidade média de 75 Km/h. Considerando todo o percurso de ida e
volta, a velocidade média, em Km/h foi de:
a) 60
b) 62,5
c) 65
d) 70
e) 72,5
Solução:
(Resolvendo sem usar
o conceito de média harmônica)
Dados do problema (velocidade média):
Curitiba – São Paulo = 50 Km/h
São Paulo – Curitiba = 75 Km/h
Como a distância (entre as duas cidades) não foi dada,
podemos adotar que seja 450
Km, pois este valor é múltiplo de 50 e 75, que
facilitará os cálculos.
E vamos supor que as distâncias (de ida e volta) percorridas
são iguais.
Calculando o tempo gasto em cada trecho:
Curitiba – São Paulo:
450/50 = 9 h
São Paulo – Curitiba:
450/75 = 6 h
Portanto, gastou-se 9 + 6 = 15 h no percurso total.
E a distância total = 450 + 450 = 900 Km
Logo, a velocidade
média para todo o percurso = 900/15 = 60 Km/h
Então, a alternativa correta (=resposta) é “a”.
Vamos aplicar o conceito de média harmônica para este
problema:
Sabemos que a média harmônica é o inverso da média
aritmética dos inversos.
Dados do problema (velocidade média):
Curitiba – São Paulo = 50 Km/h
São Paulo – Curitiba = 75 Km/h
X1 = V1 = 50
Km/h
X2 = V2 = 75
Km/h
mH = Vmh =
2*50*75/(50+75) = 60 Km/h
Logo, a velocidade
média em todo o percurso foi de 60
Km/h.
Como saber que é para aplicar a média harmônica? É a partir
do texto do problema proposto?:
A resposta para estas
perguntas: “decorado”, “gravado”, experiência e conhecimento prévio.
Uma torneira enche um tanque em 12 horas; outra torneira
enche-o em 15 horas. Estando o tanque vazio e abrindo-se as duas torneiras no
mesmo instante, em quanto tempo ficará cheio?
Solução:
Volume do tanque = v
Em 1h, a 1ª torneira despeja v/12 da capacidade do tanque.
Em 1h, a 2ª torneira despeja v/15 da capacidade do tanque.
Em 1h, as duas torneiras abertas no mesmo instante,
despejarão:
v/12 + v/15 = (5 + 4)/60 = 3/20 v/h
Para despejarem água até encher o tanque, isto é, para
despejarem os (20/20)v será necessário que fiquem abertas durante:
(20/20)v : 3/20 v/h =
(20/20)v * 20/3 h/v = 6h 40 min
Resposta: 6h 40min.
Observação: Para o caso de duas torneiras há um método
"torneiras amigas" de resolver. Basta dividir o produto pela soma dos
tempos que as duas torneiras isoladamente gastam para encher o tanque.
X1 = 12 h
X2 = 15 h
Tempo = 12*15/(12+15) = 12*15/27 = 9*20/9*3 = 20/3 =
6h 40min
3) EX-03 – Média Harmônico Global
Uma torneira enche um tanque em 12 horas; uma outra
torneira enche-o em 15 horas. Estando o tanque vazio e abrindo-se as duas
torneiras no mesmo instante, em quanto tempo ficará cheio?
Resposta: 6h 40min.
Observação: Para
o caso de duas torneiras há um método "formula legal" de resolver. Basta
dividir o produto pela soma dos tempos que as duas torneiras isoladamente
gastam para encher o tanque.
4) EX-04 – Média Harmônico Global
Um reservatório é alimentado por duas torneiras que enchem
em 6 horas. Se a primeira, sozinha, enche-o em 10 horas, em quanto tempo a
segunda, funcionando só, deixará o reservatório cheio?
Observação: Aplicando
o método "fórmula legal" a solução, no caso, seria:
Quatro torneiras foram instaladas para encher um tanque. A
primeira demoraria 15 horas para encher sozinha; a segunda, 20; a terceira, 30;
e a quarta, 60 horas. Depois de abrir, simultaneamente, as quatro torneiras e
elas ficarem funcionando em conjunto durante 5 horas, fecharam-se as duas
primeiras. Quanto tempo demorarão as outras duas para terminar de encher o
tanque?
Solução:
Em 1h, a 1ª torneira encherá 1/15 da capacidade do tanque.
Em 1h, a 2ª torneira encherá 1/20 da capacidade do tanque.
Em 1h, a 3ª torneira encherá 1/30 da capacidade do
tanque.
Em 1h, a 4ª torneira encherá 1/60
da capacidade do tanque.
Em 1h, as quatro torneiras, juntas encherão:
Em 5 horas, encherão 5*1/6 = 5/6
do tanque. Ficando 1/6 do tanque para
ser enchido.
Em 1h as duas torneiras que não foram fechadas, juntas, isto
é, a 3ª e a 4ª, despejarão:
Assim, o tempo necessário para que eles acabem de encher o
tanque é:
1/6 : 1/20 = 1/6 * 20/1 = 20/6 = 10/3 = 3h20min
Resposta:
3h 20min.
6)
EX-06 – Média Harmônico Global
Em um pesqueiro, três fontes correm para um tanque. A
primeira e a segunda, correndo simultaneamente, enchem-no em 5 (5/23) h; a
primeira e a terceira em 5 (5/7) h; a segunda e a terceira em 8 (4/7) h. Cada
uma das fontes, correndo só, em que tempo encherá o tanque?
Solução:
Sejam x, y e z os números de horas em
que cada uma das fontes, correndo só, enche o tanque.
Fazendo outra substituição:
1/x = α, 1/y = β, 1/z = δ
Somando membro a membro temos:
2α + 2β + 2δ = 23/120 + 7/40 + 7/60 = 58/120
α + β + δ = 29/120
Subtraindo dessa equação, cada uma das três do sistema, vem:
Resposta:
A primeira
fonte encherá o tanque em 8 horas; a segunda em 15 e a terceira , em 20.
7) EX-07 – Média Harmônico Global
Uma caixa d'água contem 3 torneiras. A 1ª despeja 8 (3/4)
litros por minuto; a 2ª 9 (3/5) litros por minuto e a 3ª 12 (3/8) litros por
minuto. A capacidade total da caixa d'água é de 6.145 litros.
Abrindo-se as 3 torneiras, simultaneamente , em quanto tempo ficará cheia?
Solução:
Em 1 minuto as 3
torneiras abertas juntas, despejarão:
8 (3/4) + 9 (3/5) +
12 (3/8) = 8+9+12 + (3/4) + (3/5) + (3/8) = 29 + (30+24+15)/40 = 29 + 69/40 =
1229/40 litros
O tempo que gastarão para encher a caixa d'água, isto é,
para despejar os 6.145
litros é igual a:
6145 : 1229/40 =
6145*40/1229 = 5*40 = 200 minutos, logo:
200/60 = 3 (1/3) horas = 3h 20 min
Resposta:
3h20min
8) EX-08 – Média Harmônico Global
A água deste pequeno tanque é fornecida por dois fontanários
com débitos diferentes. Um deles enche o
tanque em 10 horas o outro em 15
horas. Se os dois fontanários operarem
simultaneamente, quanto tempo demora para encher o tanque.
Nota: se alguém responder = 7,5h está errado!
Solução:
Resolver o problema considerando que o tanque tem o volume V:
O problema pode ser resolvido por Média Harmônico Global:
9)
EX-09 – Média Harmônica
Um motorista efetua o trajeto de São Paulo-SP a Araraquara-SP
(300 Km)
em 3 etapas:
1)
1ª etapa percorre 100 Km a uma velocidade
média de 96 Km/h;
2)
2ª etapa percorre 100 Km a uma velocidade
média de 66 Km/h;
3)
3ª etapa percorre 100 Km a uma velocidade
média de 72 Km/h.
Qual foi a velocidade média durante a viagem?
Nota: Se fizer (96+66+72)/3 = 7 Km/h está errado, pois,
este valor é a média das velocidades e
não a velocidade média da viagem.
Solução:
Cada uma das etapas tem a mesma quilometragem pelo que a
velocidade média pode ser calculada recorrendo-se à Média Harmônica.
Então temos:
Portanto, a velocidade média foi de aproximadamente, 76 Km/h.
